Hva er grensen for en funksjon

I denne publikasjonen vil vi vurdere et av hovedbegrepene for matematisk analyse - grensen for en funksjon: dens definisjon, samt ulike løsninger med praktiske eksempler.

Bestemme grensen for en funksjon

Funksjonsgrense – verdien som verdien til denne funksjonen har en tendens til når argumentet tenderer til grensepunktet.

Begrensningsrekord:

• grensen er angitt med ikonet lim;
• under er det lagt til hvilken verdi argumentet (variabelen) til funksjonen har en tendens til. Vanligvis dette x, men ikke nødvendigvis, for eksempel:x→1″;
• så legges selve funksjonen til til høyre, for eksempel:

  

Dermed ser den endelige posten av grensen slik ut (i vårt tilfelle):

Leser som "grense for funksjonen da x har en tendens til enhet".

x→ 1. mai XNUMX - dette betyr at "x" konsekvent tar på seg verdier som uendelig nærmer seg enhet, men som aldri vil falle sammen med den (den vil ikke bli nådd).

Beslutningsgrenser

Med et gitt nummer

La oss løse grensen ovenfor. For å gjøre dette, bytt ut enheten i funksjonen (fordi x→1):

Derfor, for å løse grensen, prøver vi først å bare erstatte det gitte tallet i funksjonen under det (hvis x har en tendens til et spesifikt tall).

Med uendelighet

I dette tilfellet øker argumentet til funksjonen uendelig, det vil si, "X" har en tendens til uendelig (∞). For eksempel:

If x→∞, så har den gitte funksjonen en tendens til minus uendelig (-∞), fordi:

• 3 - 1 = 2
• 3 - 10 = -7
• 3 - 100 = -97
• 3 – 1000 – 997 osv.

Et annet mer komplekst eksempel

For å løse denne grensen, øker du også bare verdiene x og se på "atferden" til funksjonen i dette tilfellet.

• RџСўРё x = 1, y = 1² + 3 · 1 – 6 = -2
• RџСўРё x = 10, y = 10² + 3 · 10 – 6 = 124
• RџСўРё x = 100, y = 100² + 3 · 100 – 6 = 10294

Altså for "X"tendens til uendelig, funksjonen x² +3x –6 vokser i det uendelige.

Med usikkerhet (x har en tendens til uendelig)

I dette tilfellet snakker vi om grenser, når funksjonen er en brøk, hvor telleren og nevneren er polynomer. Hvori "X" har en tendens til det uendelige.

Eksempel: la oss beregne grensen nedenfor.

Oppløsning

Uttrykkene i både telleren og nevneren har en tendens til uendelig. Det kan antas at i dette tilfellet vil løsningen være som følger:

Imidlertid er ikke alt så enkelt. For å løse grensen må vi gjøre følgende:

1. Finne x til den høyeste potensen for telleren (i vårt tilfelle er det to).

2. På samme måte definerer vi x til høyeste potens for nevneren (tilsvarer også to).

3. Nå deler vi både telleren og nevneren med x i senior grad. I vårt tilfelle, i begge tilfeller – i det andre, men hvis de var forskjellige, burde vi ta den høyeste graden.

4. I det resulterende resultatet har alle brøker en tendens til null, derfor er svaret 1/2.

Med usikkerhet (x har en tendens til et spesifikt tall)

Både telleren og nevneren er polynomer, men "X" har en tendens til et spesifikt tall, ikke til uendelig.

I dette tilfellet lukker vi betinget øynene for det faktum at nevneren er null.

Eksempel: La oss finne grensen for funksjonen nedenfor.

Oppløsning

1. La oss først erstatte tallet 1 i funksjonen som "X". Vi får usikkerheten i formen vi vurderer.

2. Deretter dekomponerer vi teller og nevner i faktorer. For å gjøre dette kan du bruke de forkortede multiplikasjonsformlene, hvis de passer, eller.

I vårt tilfelle er røttene til uttrykket i telleren (2x² – 5x + 3 = 0) er tallene 1 og 1,5. Derfor kan det representeres som: 2(x-1)(x-1,5).

Nevner (x–1) er i utgangspunktet enkel.

3. Vi får en slik modifisert grense:

4. Fraksjonen kan reduseres med (x–1):

5. Det gjenstår bare å erstatte tallet 1 i uttrykket oppnådd under grensen: