I denne publikasjonen vil vi vurdere hva den gaussiske metoden er, hvorfor den er nødvendig, og hva dens prinsipp er. Vi vil også demonstrere ved hjelp av et praktisk eksempel hvordan metoden kan brukes til å løse et system med lineære ligninger.
Beskrivelse av Gauss-metoden
Gauss metode er den klassiske metoden for sekvensiell eliminering av variabler som brukes til å løse . Den er oppkalt etter den tyske matematikeren Carl Friedrich Gauss (1777-1885).
Men først, la oss huske at SLAU kan:
- ha én enkelt løsning;
- har et uendelig antall løsninger;
- være uforenlig, dvs. ikke ha noen løsninger.
Praktiske fordeler
Gauss-metoden er en fin måte å løse en SLAE som inkluderer mer enn tre lineære ligninger, samt systemer som ikke er kvadratiske.
Prinsippet for Gauss-metoden
Metoden inkluderer følgende trinn:
- rett – den utvidede matrisen som tilsvarer ligningssystemet, reduseres forresten over radene til den øvre trekantede (trinnede) formen, dvs. under hoveddiagonalen skal bare være elementer lik null.
- tilbake – i den resulterende matrisen er elementene over hoveddiagonalen også satt til null (nedre trekantet visning).
Eksempel på SLAE-løsning
La oss løse systemet med lineære ligninger nedenfor ved å bruke Gauss-metoden.
Oppløsning
1. Til å begynne med presenterer vi SLAE i form av en utvidet matrise.
2. Nå er vår oppgave å tilbakestille alle elementer under hoveddiagonalen. Ytterligere handlinger avhenger av den spesifikke matrisen, nedenfor vil vi beskrive de som gjelder for vår sak. Først bytter vi radene, og plasserer dermed de første elementene i stigende rekkefølge.
3. Trekk fra den andre raden to ganger den første, og fra den tredje – tre ganger den første.
4. Legg til den andre linjen til den tredje linjen.
5. Trekk den andre linjen fra den første linjen, og del samtidig den tredje linjen med -10.
6. Første trinn er fullført. Nå må vi få nullelementene over hoveddiagonalen. For å gjøre dette, trekk den tredje multiplisert med 7 fra den første raden, og legg den tredje multiplisert med 5 til den andre.
7. Den endelige utvidede matrisen ser slik ut:
8. Det tilsvarer ligningssystemet:
Svar: rot SLAU: x = 2, y = 3, z = 1.