Lineært avhengige og uavhengige rader: definisjon, eksempler

I denne publikasjonen skal vi vurdere hva en lineær kombinasjon av strenger er, lineært avhengige og uavhengige strenger. Vi vil også gi eksempler for en bedre forståelse av det teoretiske stoffet.

Definere en lineær kombinasjon av strenger

Lineær kombinasjon (LK) termin s₁Med₂, …, s_n matrise A kalt et uttrykk av følgende form:

aS₁ + αs₂ + … + αs_n

Hvis alle koeffisienter α_i er lik null, så LC er triviell. Med andre ord er den trivielle lineære kombinasjonen lik nullraden.

For eksempel: 0 · s₁ + 0 · s₂ + 0 · s₃

Følgelig, hvis minst en av koeffisientene α_i er ikke lik null, så er LC ikke-trivielt.

For eksempel: 0 · s₁ + 2 · s₂ + 0 · s₃

Lineært avhengige og uavhengige rader

Strengesystemet er lineært avhengig (LZ) hvis det er en ikke-triviell lineær kombinasjon av dem, som er lik nulllinjen.

Derfor følger det at en ikke-triviell LC i noen tilfeller kan være lik nullstrengen.

Strengesystemet er lineært uavhengig (LNZ) hvis bare den trivielle LC er lik nullstrengen.

Merknader:

• I en kvadratisk matrise er radsystemet en LZ bare hvis determinanten til denne matrisen er null (de = 0).
• I en kvadratisk matrise er radsystemet en LIS bare hvis determinanten til denne matrisen ikke er lik null (de ≠ 0).

Eksempel på et problem

La oss finne ut om strengsystemet er det {s₁ = {3 4};s₂ = {9 12}} lineært avhengig.

Beslutning:

1. La oss først lage en LC.

α₁{3 4} + a₂{9 12}.

2. La oss nå finne ut hvilke verdier som bør ta α₁ и α₂slik at den lineære kombinasjonen er lik nullstrengen.

α₁{3 4} + a₂{9 12} = {0 0}.

3. La oss lage et ligningssystem:

4. Del den første ligningen med tre, den andre med fire:

5. Løsningen på dette systemet er hvilken som helst α₁ и α₂, Med α₁ = -3a₂.

Hvis for eksempel α₂ = 2deretter α₁ = -6. Vi erstatter disse verdiene i ligningssystemet ovenfor og får:

Svar: så linjene s₁ и s₂ lineært avhengig.