Innhold
I denne publikasjonen vil vi vurdere definisjonen av rangeringen til en matrise, samt metodene som den kan bli funnet på. Vi vil også analysere eksempler for å demonstrere anvendelsen av teori i praksis.
Bestemme rangeringen av en matrise
Matrix rangering er rangeringen av systemet med rader eller kolonner. Enhver matrise har sine rader og kolonner, som er like med hverandre.
Radsystemrangering er det maksimale antallet lineært uavhengige rader. Rangeringen av kolonnesystemet bestemmes på lignende måte.
Merknader:
- Rangeringen av nullmatrisen (angitt med symbolet "θ") uansett størrelse er null.
- Rangeringen til enhver radvektor eller kolonnevektor som ikke er null er lik én.
- Hvis en matrise av en hvilken som helst størrelse inneholder minst ett element som ikke er lik null, er rangeringen ikke mindre enn én.
- Rangeringen til en matrise er ikke større enn dens minimumsdimensjon.
- Elementære transformasjoner utført på en matrise endrer ikke rangeringen.
Finne rangeringen til en matrise
Fringing Minor Method
Rangeringen til en matrise er lik den maksimale rekkefølgen til en ikke-null.
Algoritmen er som følger: finne de mindreårige fra de laveste ordene til de høyeste. Hvis mindre norden er ikke lik null, og alle påfølgende (n + 1) er lik 0, så rangeringen av matrisen er n.
Eksempel
For å gjøre det klarere, la oss ta et praktisk eksempel og finne rangeringen til matrisen A nedenfor, ved å bruke metoden for å grense til mindreårige.
Oppløsning
Vi har å gjøre med en 4 × 4 matrise, derfor kan rangeringen ikke være høyere enn 4. Det er også elementer som ikke er null i matrisen, noe som betyr at rangeringen ikke er mindre enn én. Så la oss komme i gang:
1. Begynn å sjekke mindreårige av andre orden. Til å begynne med tar vi to rader av den første og andre kolonnen.
Minor er lik null.
Derfor går vi videre til neste mindre (den første kolonnen forblir, og i stedet for den andre tar vi den tredje).
Minor er 54≠0, så rangeringen av matrisen er minst to.
OBS: Hvis dette mindretallet viste seg å være lik null, ville vi ytterligere sjekket følgende kombinasjoner:
Om nødvendig kan opptellingen fortsette på samme måte med strenger:
- 1 og 3;
- 1 og 4;
- 2 og 3;
- 2 og 4;
- 3 og 4.
Hvis alle andre-ordens mindreårige var lik null, ville rangeringen av matrisen være lik én.
2. Vi klarte nesten umiddelbart å finne en mindreårig som passer oss. Så la oss gå videre til mindreårige av tredje orden.
Til den funnet mindreårige av den andre rekkefølgen, som ga et resultat som ikke er null, legger vi til en rad og en av kolonnene uthevet i grønt (vi starter fra den andre).
Den mindreårige viste seg å være null.
Derfor endrer vi den andre kolonnen til den fjerde. Og på det andre forsøket klarer vi å finne en minor som ikke er lik null, noe som betyr at rangeringen av matrisen ikke kan være mindre enn 3.
OBS: hvis resultatet viste seg å være null igjen, i stedet for den andre raden, ville vi ta den fjerde raden videre og fortsette søket etter en "god" moll.
3. Nå gjenstår det å bestemme mindreårige av fjerde orden basert på det som ble funnet tidligere. I dette tilfellet er det en som samsvarer med determinanten til matrisen.
Minor er lik 144≠0. Dette betyr at rangeringen av matrisen A tilsvarer 4.
Reduksjon av en matrise til en trinnformet form
Rangeringen til en trinnmatrise er lik antallet rader som ikke er null. Det vil si at alt vi trenger å gjøre er å bringe matrisen til riktig form, for eksempel ved å bruke , som, som vi nevnte ovenfor, ikke endrer rangeringen.
Eksempel
Finn rangeringen til en matrise B under. Vi tar ikke et altfor komplisert eksempel, fordi vårt hovedmål rett og slett er å demonstrere bruken av metoden i praksis.
Oppløsning
1. Trekk først det doblede første fra den andre linjen.
2. Trekk nå den første raden fra den tredje raden, multiplisert med fire.
Dermed fikk vi en trinnmatrise der antall rader som ikke er null er lik to, derfor er rangeringen også lik 2.