I denne publikasjonen vil vi vurdere en av hovedsetningene i euklidisk geometri – Stewarts teorem, som fikk et slikt navn til ære for den engelske matematikeren M. Stewart, som beviste det. Vi vil også analysere i detalj et eksempel på å løse problemet for å konsolidere det presenterte materialet.
Uttalelse av teoremet
Dan trekant ABC. Ved hans side AC poeng tatt D, som er koblet til toppen B. Vi godtar følgende notasjon:
- AB = a
- BC = b
- BD = s
- AD = x
- DC = og
For denne trekanten er likheten sann:
Anvendelse av teoremet
Fra Stewarts teorem kan formler utledes for å finne medianene og halveringslinjene til en trekant:
1. Lengden på halveringslinjen
La lc er halveringslinjen trukket til siden c, som er delt inn i segmenter x и y. La oss ta de to andre sidene av trekanten som a и b… I dette tilfellet:
2. Medianlengde
La mc er medianen skrudd ned til siden c. La oss betegne de to andre sidene av trekanten som a и b… Deretter:
Eksempel på et problem
Trekant gitt ABC. På siden AC lik 9 cm, poeng tatt D, som deler siden slik at AD dobbelt så lang DC. Lengden på segmentet som forbinder toppunktet B og pek D, er 5 cm. I dette tilfellet, den dannede trekanten ABD er likebenet. Finn de resterende sidene av trekanten ABC.
Oppløsning
La oss skildre betingelsene for problemet i form av en tegning.
AC = AD + DC = 9 cm. AD lenger DC to ganger, dvs AD = 2DC.
Følgelig 2DC + DC = 3DC u9d XNUMX cm. Så, DC =3 cm, AD = 6 cm.
Fordi trekant ABD – likebenet, og side AD er 6 cm, så de er like AB и BDIe AB = 5 cm.
Det gjenstår bare å finne BC, som utleder formelen fra Stewarts teorem:
Vi erstatter de kjente verdiene med dette uttrykket:
På denne måten BC = √52 ≈ 7,21 cm.