Heve et komplekst tall til en naturlig potens

I denne publikasjonen vil vi vurdere hvordan et komplekst tall kan heves til en potens (inkludert ved å bruke De Moivre-formelen). Det teoretiske materialet er ledsaget av eksempler for bedre forståelse.

Heve et komplekst tall til en potens

Først, husk at et komplekst tall har den generelle formen: z = a + bi (algebraisk form).

Nå kan vi gå direkte til løsningen av problemet.

Kvadratnummer

Vi kan representere graden som et produkt av de samme faktorene, og deretter finne produktet deres (mens vi husker det i² = -1).

z² = (a + bi)² = (a + bi)(a + bi)

Eksempel 1:

z=3+5i

z² = (3 + 5i)² = (3 + 5i)(3 + 5i) = 9 + 15i + 15i + 25i² = -16 + 30i

Du kan også bruke, nemlig kvadratet av summen:

z² = (a + bi)² = a² + 2 ⋅ a ⋅ bi + (bi)² = a² + 2abi – b²

OBS: På samme måte kan man om nødvendig få formler for kvadratet av differansen, kuben av summen / differansen osv.

N. grad

Hev et komplekst tall z i slag n mye lettere hvis det er representert i trigonometrisk form.

Husk at notasjonen til et tall generelt ser slik ut: z = |z| ⋅ (cos φ + i ⋅ sin φ).

For eksponentiering kan du bruke De Moivres formel (så oppkalt etter den engelske matematikeren Abraham de Moivre):

zⁿ = | z |ⁿ ⋅ (cos(nφ) + i ⋅ sin(nφ))

Formelen fås ved å skrive på trigonometrisk form (modulene multipliseres, og argumentene legges til).

Eksempel 2

Hev et komplekst tall z = 2 ⋅ (cos 35° + i ⋅ sin 35°) til åttende grad.

Oppløsning

z⁸ = 2⁸ ⋅ (cos(8 ⋅ 35°) + i ⋅ sin(8 ⋅ 35°)) = 256 ⋅ (cos 280° + i sin 280°).