Trekke ut roten av et komplekst tall

I denne publikasjonen skal vi se på hvordan du kan ta roten til et komplekst tall, og også hvordan dette kan hjelpe til med å løse kvadratiske ligninger hvis diskriminant er mindre enn null.

Trekke ut roten av et komplekst tall

Kvadratrot

Som vi vet er det umulig å ta roten til et negativt reelt tall. Men når det gjelder komplekse tall, kan denne handlingen utføres. La oss finne ut av det.

La oss si at vi har et tall z = -9. For √-9 det er to røtter:

z₁ = √-9 = -3i

z₁ = √-9 = 3i

La oss sjekke de oppnådde resultatene ved å løse ligningen z² = -9, ikke glemme det i² = -1:

(-3i)² = (-3)² ⋅ jeg² = 9 ⋅ (-1) = -9

(3i)² = 3² ⋅ jeg² = 9 ⋅ (-1) = -9

Dermed har vi bevist det -3i и 3i er røtter √-9.

Roten til et negativt tall skrives vanligvis slik:

√-1 = ±i

√-4 = ±2i

√-9 = ±3i

√-16 = ±4i og så videre

Root til kraften til n

Anta at vi får formlikninger z = ⁿ√w… Det har n røtter (z₀, Av₁, Av₂,…, z_n-1), som kan beregnes ved hjelp av formelen nedenfor:

|w| er modulen til et komplekst tall w;

φ – argumentet hans

k er en parameter som tar verdiene: k = {0, 1, 2,…, n-1}.

Kvadratiske ligninger med komplekse røtter

Å trekke ut roten til et negativt tall endrer den vanlige ideen om uXNUMXbuXNUMXb. Hvis diskriminanten (D) er mindre enn null, så kan det ikke være reelle røtter, men de kan representeres som komplekse tall.

Eksempel

La oss løse ligningen x² – 8x + 20 = 0.

Oppløsning

a = 1, b = -8, c = 20

D = b² – 4ac = 64 - 80 = -16

D < 0, men vi kan fortsatt ta roten til den negative diskriminanten:

√D = √-16 = ±4i

Nå kan vi beregne røttene:

x_1,2 = (-b ± √D)/2a = (8 ± 4i)/2 = 4 ± 2i.

Derfor ligningen x² – 8x + 20 = 0 har to komplekse konjugerte røtter:

x₁ = 4 + 2i

x₂ = 4 – 2i