Fermats lille teorem

I denne publikasjonen vil vi vurdere en av hovedsetningene i heltallsteorien –  Fermats lille teoremoppkalt etter den franske matematikeren Pierre de Fermat. Vi vil også analysere et eksempel på løsning av problemet for å konsolidere det presenterte materialet.

Uttalelse av teoremet

1. Innledende

If p er et primtall a er et heltall som ikke er delelig med pderetter a^p-1 - 1 dividert med p.

Det er formelt skrevet slik: a^p-1 ≡ 1 (imot p).

OBS: Et primtall er et naturlig tall som bare er delelig med XNUMX og seg selv uten rest.

For eksempel:

• a = 2
• p = 5
• a^p-1 - 1 = 2^{5 - 1} - 1 = 2⁴ – 1 = 16 – 1 = 15
• Antall 15 dividert med 5 uten en rest.

2. Alternativ

If p er et primtall, a hvilket som helst heltall, da a^p sammenlignbart med a modulo p.

a^p ≡ a (imot p)

Historie med å finne bevis

Pierre de Fermat formulerte teoremet i 1640, men beviste det ikke selv. Senere ble dette gjort av Gottfried Wilhelm Leibniz, en tysk filosof, logiker, matematiker, etc. Det antas at han hadde beviset allerede i 1683, selv om det aldri ble publisert. Det er bemerkelsesverdig at Leibniz oppdaget teoremet selv, uten å vite at det allerede var formulert tidligere.

Det første beviset på teoremet ble publisert i 1736, og det tilhører sveitseren, tyskeren og matematikeren og mekanikeren Leonhard Euler. Fermats lille teorem er et spesialtilfelle av Eulers teorem.

Eksempel på et problem

Finn resten av et tall 2¹² on 12.

Oppløsning

La oss forestille oss et tall 2¹² as 2⋅2¹¹.

11 er et primtall, derfor får vi ved Fermats lille teorem:

2¹¹ ≡ 2 (imot 11).

Derfor 2⋅2¹¹ ≡ 4 (imot 11).

Altså tallet 2¹² dividert med 12 med en rest lik 4.