Finne den inverse matrisen

I denne publikasjonen vil vi vurdere hva en invers matrise er, og også, ved hjelp av et praktisk eksempel, vil vi analysere hvordan det kan bli funnet ved hjelp av en spesiell formel og en algoritme for sekvensielle handlinger.

Definisjon av invers matrise

Først, la oss huske hva gjensidighet er i matematikk. La oss si at vi har tallet 7. Da blir dets inverse 7^-1 or ¹/₇. Hvis du multipliserer disse tallene, blir resultatet ett, altså 7 7^-1 = 1.

Nesten det samme med matriser. Invertire en slik matrise kalles, multiplisere som med den opprinnelige, får vi identiteten en. Hun er merket som A^-1.

A · A^-1 =E

Algoritme for å finne den inverse matrisen

For å finne den inverse matrisen, må du kunne beregne matriser, samt ha ferdigheter til å utføre visse handlinger med dem.

Det skal bemerkes med en gang at det inverse bare kan finnes for en kvadratisk matrise, og dette gjøres ved å bruke formelen nedenfor:

|A| – matrisedeterminant;

A^T_M er den transponerte matrisen av algebraiske addisjoner.

OBS: hvis determinanten er null, eksisterer ikke den inverse matrisen.

Eksempel

La oss finne for matrisen A nedenfor er det motsatte av det.

Oppløsning

1. La oss først finne determinanten til den gitte matrisen.

2. La oss nå lage en matrise som har samme dimensjoner som den opprinnelige:

Vi må finne ut hvilke tall som skal erstatte stjernene. La oss starte med elementet øverst til venstre i matrisen. Den mindre til den finner du ved å krysse ut raden og kolonnen den er plassert i, dvs. i begge tilfeller på nummer én.

Tallet som gjenstår etter gjennomstrekingen er det påkrevde bitallet, dvs M₁₁ = 8.

Tilsvarende finner vi minorene for de resterende elementene i matrisen og får følgende resultat.

3. Vi definerer matrisen for algebraiske addisjoner. Hvordan beregne dem for hvert element, vurderte vi i en separat.

For eksempel for et element a₁₁ algebraisk addisjon betraktes som følger:

A₁₁ = (-1)^{1 + 1} M₁₁ = 1 · 8 = 8

4. Utfør transponeringen av den resulterende matrisen med algebraiske tillegg (dvs. bytt ut kolonnene og radene).

5. Det gjenstår bare å bruke formelen ovenfor for å finne den inverse matrisen.

Vi kan la svaret være i denne formen, uten å dele elementene i matrisen med tallet 11, siden vi i dette tilfellet får stygge brøktall.

Sjekker resultatet

For å være sikker på at vi har den inverse av den opprinnelige matrisen, kan vi finne produktet deres, som skal være lik identitetsmatrisen.

Som et resultat fikk vi identitetsmatrisen, som betyr at vi gjorde alt riktig.