I denne publikasjonen vil vi vurdere en av de klassiske teoremene for affin geometri - Ceva-teoremet, som fikk et slikt navn til ære for den italienske ingeniøren Giovanni Ceva. Vi vil også analysere et eksempel på løsning av problemet for å konsolidere det presenterte materialet.
Uttalelse av teoremet
Trekant gitt ABC, der hvert toppunkt er koblet til et punkt på motsatt side.
Dermed får vi tre segmenter (AA', BB' и CC'), som kalles cevians.
Disse segmentene krysser hverandre på ett punkt hvis og bare hvis følgende likhet gjelder:
|OG'| |IKKE'| |CB'| = |BC'| |SKIFTE'| |AB'|
Teoremet kan også presenteres i denne formen (det bestemmes i hvilket forhold punktene deler sidene):
Cevas trigonometriske teorem
Merk: alle hjørner er orientert.
Eksempel på et problem
Trekant gitt ABC med prikker TIL', B ' и VS ' på sidene BC, AC и AB, henholdsvis. Toppunktene i trekanten er koblet til de gitte punktene, og de dannede segmentene går gjennom ett punkt. Samtidig er poengene TIL' и B ' tatt ved midtpunktene til de tilsvarende motsatte sidene. Finn ut i hvilket forhold punktet VS ' deler siden AB.
Oppløsning
La oss tegne en tegning i henhold til betingelsene for problemet. For enkelhets skyld bruker vi følgende notasjon:
- AB' = B'C = a
- BA' = A'C = b
Det gjenstår bare å komponere forholdet mellom segmentene i henhold til Ceva-teoremet og erstatte den aksepterte notasjonen i den:
Etter å ha redusert brøkene får vi:
Derfor AC' = C'B, dvs. punkt VS ' deler siden AB i to.
Derfor, i vår trekant, segmentene AA', BB' и CC' er medianer. Etter å ha løst problemet, beviste vi at de krysser hverandre på ett punkt (gyldig for alle trekanter).
OBS: ved hjelp av Cevas teorem kan man bevise at i en trekant på ett punkt, krysser også halveringslinjene eller høydene.