Innhold
I denne publikasjonen vil vi vurdere de grunnleggende egenskapene til høyde i en likesidet (regelmessig) trekant. Vi vil også analysere et eksempel på å løse et problem om dette emnet.
OBS: trekanten kalles likesidighvis alle sidene er like.
Høydeegenskaper i en likesidet trekant
Eiendom 1
Enhver høyde i en likesidet trekant er både en halveringslinje, en median og en vinkelrett halveringslinje.
- BD – høyde senket til siden AC;
- BD er medianen som deler siden AC i halvparten, dvs AD = DC;
- BD – vinkelhalveringslinje ABC, dvs. ∠ABD = ∠CBD;
- BD er medianen vinkelrett på AC.
Eiendom 2
Alle tre høydene i en likesidet trekant har samme lengde.
AE = BD = CF
Eiendom 3
Høydene i en likesidet trekant ved ortosenteret (skjæringspunktet) er delt i forholdet 2:1, regnet fra toppunktet de er trukket fra.
- AO = 2OE
- BO = 2OD
- CO = 2OF
Eiendom 4
Ortosenteret til en likesidet trekant er sentrum av de innskrevne og omskrevne sirklene.
- R er radiusen til den omskrevne sirkelen;
- r er radiusen til den innskrevne sirkelen;
- R = 2r (følger av Egenskaper 3).
Eiendom 5
Høyden i en likesidet trekant deler den i to rettvinklede trekanter med lik areal (lik areal).
S1 =S2
Tre høyder i en likesidet trekant deler den inn i 6 rette trekanter med samme areal.
Eiendom 6
Når du kjenner lengden på siden av en likesidet trekant, kan høyden beregnes med formelen:
a er siden av trekanten.
Eksempel på et problem
Radien til en sirkel omskrevet rundt en likesidet trekant er 7 cm. Finn siden til denne trekanten.
Oppløsning
Som vi vet fra egenskaper 3 и 4, radiusen til den omskrevne sirkelen er 2/3 av høyden til en likesidet trekant (h). Følgelig h = 7 ∶ 2 ⋅ 3 = 10,5 cm.
Nå gjenstår det å beregne lengden på siden av trekanten (uttrykket er avledet fra formelen i Eiendom 6):
