System av lineære algebraiske ligninger

I denne publikasjonen vil vi vurdere definisjonen av et system med lineære algebraiske ligninger (SLAE), hvordan det ser ut, hvilke typer det finnes, og også hvordan man presenterer det i en matriseform, inkludert en utvidet.

Definisjon av et system av lineære ligninger

System av lineære algebraiske ligninger (eller "SLAU" for kort) er et system som generelt ser slik ut:

• m er antall ligninger;
• n er antall variabler.
• x₁, x₂,…, x_n – ukjent;
• a₁₁,₁₂…, a_mn – koeffisienter for ukjente;
• b₁, b₂,..., b_m – gratis medlemmer.

Koeffisientindekser (a_ij) er dannet som følger:

• i er tallet på den lineære ligningen;
• j er nummeret på variabelen som koeffisienten refererer til.

SLAU løsning – slike tall c₁, C₂,…, c_n , i innstillingen som i stedet for x₁, x₂,…, x_n, vil alle likninger i systemet bli til identiteter.

Typer SLAU

1. homogen – alle gratis medlemmer av systemet er lik null (b₁ =b₂ = … = b_m = 0).

   

2. Heterogen – dersom vilkåret ovenfor ikke er oppfylt.
3. Square – antall ligninger er lik antall ukjente, dvs m = n.

   

4. Underbestemt – antall ukjente er større enn antall ligninger.

   

5. overstyrt Det er flere ligninger enn variabler.

   

Avhengig av antall løsninger kan SLAE være:

1. Joint har minst én løsning. Dessuten, hvis det er unikt, kalles systemet bestemt, hvis det er flere løsninger, kalles det ubestemt.

   

   SLAE ovenfor er felles, fordi det er minst én løsning: x = 2, y = 3.

2. uforenlig Systemet har ingen løsninger.

   

   De høyre sidene av ligningene er de samme, men de venstre er det ikke. Dermed er det ingen løsninger.

Matrisenotasjon av systemet

SLAE kan representeres i matriseform:

AX = B

• A er matrisen dannet av koeffisientene til de ukjente:

  

• X – kolonne med variabler:

  

• B – kolonne med gratis medlemmer:

  

Eksempel

Vi representerer ligningssystemet nedenfor i matriseform:

Ved å bruke skjemaene ovenfor setter vi sammen hovedmatrisen med koeffisienter, kolonner med ukjente og frie medlemmer.

Fullstendig oversikt over det gitte ligningssystemet i matriseform:

Utvidet SLAE-matrise

Hvis til matrisen til systemet A legg til kolonnen for gratis medlemmer til høyre B, ved å separere dataene med en vertikal strek, får du en utvidet matrise av SLAE.

For eksempelet ovenfor ser det slik ut:

– betegnelse på den utvidede matrisen.